第7章 齐次平衡法
第二天，上午八点，和两位老师在校门口集合，乘坐一辆黑色轿车去机场，途中收回自己的身份证。
两个多小时后，三人落地津门，刚从候机室出来，卓越身体微微颤抖几下。
津门地属北方，十二月份的杭城还是零上，而津门已经是零下了。
“冷吧！”杨老师看了一眼卓越。
“还行，只是刚出机场不适应，过十几分钟就好。”卓越道。
人体对外界温度有一个自我调节的功能。
卓越只是适应了杭城的温度，还没适应津门的温度，只有过十几分钟后适应了津门的温度，他就不会感到冷了。
“我们先快点回到酒店吧！”宗老师在地上跺跺脚，期望让身体暖和一些，但还是很冷，他就说道。
说完拦了一辆出租车坐上，到事先订好的津门大学附近的酒店。
一共订了三间房，每人一间。
到酒店后，卓越倒热水喝上，这才感觉好了许多。
此时到了十二点，三人在酒店休息十几分钟后，出门到附近的饭店吃饭，之后去津门大学。
在津门大学的办公室中，他们看到一位中年男子。
他的头发很是潦草，有很厚的油，就好似多日没洗一般。
脸色有些黑，有些粗糙，身上是一身黑色、质地普通的棉衣，穿着一条有一些污渍的西装裤，脚上是一双破旧的黑色帆布鞋。
用一个字来形容很贴切，土！
要不是知道对方是教授，卓越还以为他是农民呢！
当然，在场的三人都不会惊讶，搞科研的人再怎么奇怪都很正常。
他们还见过一些搞科研的人平时喜好穿奇装异服，这是他们的减压方式，怎么舒服怎么来。
搞科研本来压力就很大，要是不让他们减压，会把他们逼疯的。
“胡教授，你好！”两位老师和胡教授握手问好，然后将卓越介绍给他。
胡教授脸色平静，与两位老师握手后，对着卓越点了点头，然后将三人迎进去。
这种情形众人也见怪不怪，有些搞科研的人性格很是古怪，胡教授这还算是好的，有些科研人员经常研究没有思路的时候，脾气会非常的火爆，看到谁都不顺眼。
等到所有人都坐下后，他道：“能把你们的东西给我看看吗？”
“可以！”宗老师从包里拿出昨日三人写的东西。
胡教授接过后仔细看，很快就看完，道：“你们是从Jacobi椭圆函数法求非线性波动方程精确解的方法，找到Jacobi椭圆函数展开法。”
“还找到Jacobi椭圆正弦函数和Jacobi椭圆余弦函数展开法，最终求得一组新的方程组，获得平衡法，对吧！”
“是的。”杨老师道：“我们找到你，是想找到NLPDE新的破解方法。”
“但是Jacobi椭圆函数获得的平衡法，无法破解NLPDE。”
“其实你们这个公式在几年前我就创造出来了，但这个公式有很大的局限性。”胡教授道。
“啊……”卓越惊讶的叫一声。
没想到胡教授几年前就创造出来了，那这么说，这公式他们不是第一创造者。
杨老师和宗老师并没有惊讶，他们创造的这个公式并不是多么高深的东西，别的教授创造出来并不稀奇。
数学是自然科学的基础，自然科学并不是凭空出现，而是自然界本来就有的东西，等着人们去发现。
所以，在学术界，一个同样的公式，有好几个人在几年内同时创造出来，这并不是稀奇的事。
胡教授看一眼卓越，继续道：“NLPDE中除了Kdv方程、Boussinesq方程和KleinO Gordon方程，还有mKdv方程、DP方程、Burger方程、Knowpia方程，和许多其他方程。”
“但此公式却只能解决Kdv方程、Boussinesq方程和KleinO Gordon方程，这是有非常大的局限性的。”
“所以此方程是无法解决NLPDE。”
“只有找出一种对所有方程都通用的方程，才会是NLPDE新的破解方法。”
“五年前，我发现了齐次平衡法，这五年时间，我一直在对齐次平衡法的矫正和补充，现在我让你们看看我的研究成果。”
他也不怕卓越等人偷师，齐次平衡法现在还不是完美的，卓越等人需要齐次平衡法，他也需要别人给他提供一个思路。
而且，就算以后卓越等人完善了齐次平衡法，也会有他的一份功劳，他不相信卓越等人会独吞。
因为现在信息发达，就算卓越等人想独吞，都做不到的。
他完全可以提供自己创造齐次平衡法的时间和卓越等人在他这里学习齐次平衡法的证据，到时候这就成了一个丑闻。
说完他起身拉过来一块白板。
“我首先说一下，齐次平衡法的作用。”
“齐次平衡法，是解决非线性发展方程的精确解，既在常微分方程的基础上对微分方程的另一种偏微分方程精确解的求法。”
“下面我详细的写出来齐次平衡法的推演步骤！”
他拿起笔在白板上写着。
卓越三人站起身到白板附近，认真的看他写的内容。
【已知NLPDE，p(u，uₓ，uₜ，uₓₓ，uₓₜ，uₙ，...)=0（1.1）
这里p是其变元多项式，其中包含u(x，t)的非线性项和它的最高阶导数项，函数φ=φ(x，t)称为(1.1)的拟解。
……
1.4如果前三步的解答是肯定的，那么将结果代入(1.2)经过一些计算，就得到(1.1)的准确解。】
他放下笔，看着卓越三人，道：“齐次平衡法有两种情形，一种平衡阶数为负数的情形，另一种是阶数为分数的情形。”
“首先我讲解一下平衡阶数为负数的情形。”
“当m，n中存在负数时(不妨设其为负整数情形)，我们可以假设m+n>0时
……
我们可以先对原方程做变换u=v^(-1)将原方程化为关于v的NLPDE。
这时，再利用齐次平衡方法解之。”
“下面，我用实例演算给你们看。”
【ut=(u²)ₓₓ+p(u-u²)(2.2.1)
……
当c ₀=1时，将导致负数解，这里略去。】
“这就是阶数为负数的平衡法，有什么问题，我们之后再议。”
他看到三人欲言又止，就说道：“下面我说一下阶数为分数的情形。”
“若平衡阶数m，n中有分数(不妨设其为正分数情形)，我们可以先做变换v=au^1其中1为m的最简分式的分母与n的最简分式的分母的最小公倍数，a为任意常数。
也可直接假设。
这个公式比较复杂，我直接写下来吧！”
【u(x，t)=f^([m+n])φᵐxφⁿt/φᵐ⁺ⁿ-[m+n]+[m+n]-1∑t=1f([m+n]-t∑(j=1)C[m+n]-tjφ(m-j)xφ(n+j-1)t/φ(m+n-[m+n]-t))+Ca(3.1.1)】
写完后，他指着白板上的公式道：“其中[x]表示取x的整数部分，c0为任意常数。”
“下面我实例演示一下。”
【ut+qu²ux+puₓₓ=0
其中p，q>0
……
得到的精确解为
u(x，t)=±√3pqk²/r(2-pk²)tanh[½k(x+2q/pk²-2t)]】
他呼出一口气，道：“好了，这就是我说的齐次平衡法，你们有什么需要问的吗？”
“请问较低导数的非线性项式怎么转变为较高导数的线性项的，然后又怎么让各阶的系数为零的。”宗老师问道。
“是将(2.2.3)代入(2.2.2)，合并φ的各种偏导数同次齐次项，并令φ⁵xφ¹ᵗ的系数为零，得
……
φ(x，t)所满足的方程组(2.2.9)--(2.2.10)是有解的。”
“那怎么得到k，w的非线性代数方程组？”杨老师问道。
“令φ(x，t)=1+exp(kx+wt)代入(2.2.9)--(2.2.10)，得到关于k，w的非线性代数方程组。”
“原方程的准确孤立波解是什么？”卓越问道。
“我写出来给你看。”
【u(x，t)=-6/tanh(±√-p/3/4+p/4t)]】
接下来，三人提问了许多问题，卓越提的最多。
齐次平衡法，让他对解决NLPDE的破解方法的思路又开阔了许多。
并且接下来三天时间，他都在研究齐次平衡法，不懂的就去问胡教授。
胡教授倒是也不恼，有问必答，再说他的时间很多，每天只有一节课，其余时间都在搞科研。
本来来之前卓越还想在津门逛逛的，但三天时间都用在学习上。
学习的时间总是过的很快，不知不觉三天就过去了。
三天后，他们踏上返回杭城的旅程。
这一趟来津门，卓越对新的NLPDE破解方法已经想到方法了。
但还是缺点东西，可是他相信应该很快了。
飞机上！
卓越拿着纸笔，写出许多的公式，拿笔的又手臂放在扶手上，手指抵着下巴，微微皱眉看着纸沉思。
他们乘坐的是商务舱，附近坐的都是成功人士，对于卓越这位年轻帅气，认真的样子有一股独特的魅力，早就吸引空姐们的目光。
不时的有一位漂亮的空姐来询问他需要什么帮助，很是殷勤，更是偷偷的塞来纸条。
“还是年轻好啊！”一旁的杨老师和宗老师对视一眼。
卓越对于这种情况习以为常，照单全收。
“小丽，你可别看到帅哥就犯花痴。”一位年长点的空姐对这位殷勤的空姐道：“女人的青春是很值钱的，咱们可不能陪穷小子玩。”
“就是，你看他穿的衣服和地摊货一样，一看就不是有钱人，能坐商务舱也肯定不是花自己的钱。”另一位空姐不屑的瞥了一眼卓越的位置。
“哎呀，你们不觉得他很帅吗，特别是认真思索的样子，简直帅呆了。”小丽要冒星星的道，一副小迷妹的样子。
两位空姐看她这样，心中无奈叹息，年长的空姐道：“小丽，听姐的话，像你这么漂亮的姑娘，应该找有钱人，特别是像我们这样的职业，是吃青春饭的，更应该在二十七岁钱找有其人嫁了，不能找穷小子，不然到时候吃亏的是你。”
“知道了。”小丽满不在乎的道，心中对她们的话却是不以为然。
卓越自然不知道空姐们对他的看法，两个多小时后，他们下飞机了，将空姐塞的纸条扔掉。
还是那句话，想要学习好，远离女人。
女人只会影响我学习的速度。
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两个多小时后，三人落地津门，刚从候机室出来，卓越身体微微颤抖几下。
津门地属北方，十二月份的杭城还是零上，而津门已经是零下了。
“冷吧！”杨老师看了一眼卓越。
“还行，只是刚出机场不适应，过十几分钟就好。”卓越道。
人体对外界温度有一个自我调节的功能。
卓越只是适应了杭城的温度，还没适应津门的温度，只有过十几分钟后适应了津门的温度，他就不会感到冷了。
“我们先快点回到酒店吧！”宗老师在地上跺跺脚，期望让身体暖和一些，但还是很冷，他就说道。
说完拦了一辆出租车坐上，到事先订好的津门大学附近的酒店。
一共订了三间房，每人一间。
到酒店后，卓越倒热水喝上，这才感觉好了许多。
此时到了十二点，三人在酒店休息十几分钟后，出门到附近的饭店吃饭，之后去津门大学。
在津门大学的办公室中，他们看到一位中年男子。
他的头发很是潦草，有很厚的油，就好似多日没洗一般。
脸色有些黑，有些粗糙，身上是一身黑色、质地普通的棉衣，穿着一条有一些污渍的西装裤，脚上是一双破旧的黑色帆布鞋。
用一个字来形容很贴切，土！
要不是知道对方是教授，卓越还以为他是农民呢！
当然，在场的三人都不会惊讶，搞科研的人再怎么奇怪都很正常。
他们还见过一些搞科研的人平时喜好穿奇装异服，这是他们的减压方式，怎么舒服怎么来。
搞科研本来压力就很大，要是不让他们减压，会把他们逼疯的。
“胡教授，你好！”两位老师和胡教授握手问好，然后将卓越介绍给他。
胡教授脸色平静，与两位老师握手后，对着卓越点了点头，然后将三人迎进去。
这种情形众人也见怪不怪，有些搞科研的人性格很是古怪，胡教授这还算是好的，有些科研人员经常研究没有思路的时候，脾气会非常的火爆，看到谁都不顺眼。
等到所有人都坐下后，他道：“能把你们的东西给我看看吗？”
“可以！”宗老师从包里拿出昨日三人写的东西。
胡教授接过后仔细看，很快就看完，道：“你们是从Jacobi椭圆函数法求非线性波动方程精确解的方法，找到Jacobi椭圆函数展开法。”
“还找到Jacobi椭圆正弦函数和Jacobi椭圆余弦函数展开法，最终求得一组新的方程组，获得平衡法，对吧！”
“是的。”杨老师道：“我们找到你，是想找到NLPDE新的破解方法。”
“但是Jacobi椭圆函数获得的平衡法，无法破解NLPDE。”
“其实你们这个公式在几年前我就创造出来了，但这个公式有很大的局限性。”胡教授道。
“啊……”卓越惊讶的叫一声。
没想到胡教授几年前就创造出来了，那这么说，这公式他们不是第一创造者。
杨老师和宗老师并没有惊讶，他们创造的这个公式并不是多么高深的东西，别的教授创造出来并不稀奇。
数学是自然科学的基础，自然科学并不是凭空出现，而是自然界本来就有的东西，等着人们去发现。
所以，在学术界，一个同样的公式，有好几个人在几年内同时创造出来，这并不是稀奇的事。
胡教授看一眼卓越，继续道：“NLPDE中除了Kdv方程、Boussinesq方程和KleinO Gordon方程，还有mKdv方程、DP方程、Burger方程、Knowpia方程，和许多其他方程。”
“但此公式却只能解决Kdv方程、Boussinesq方程和KleinO Gordon方程，这是有非常大的局限性的。”
“所以此方程是无法解决NLPDE。”
“只有找出一种对所有方程都通用的方程，才会是NLPDE新的破解方法。”
“五年前，我发现了齐次平衡法，这五年时间，我一直在对齐次平衡法的矫正和补充，现在我让你们看看我的研究成果。”
他也不怕卓越等人偷师，齐次平衡法现在还不是完美的，卓越等人需要齐次平衡法，他也需要别人给他提供一个思路。
而且，就算以后卓越等人完善了齐次平衡法，也会有他的一份功劳，他不相信卓越等人会独吞。
因为现在信息发达，就算卓越等人想独吞，都做不到的。
他完全可以提供自己创造齐次平衡法的时间和卓越等人在他这里学习齐次平衡法的证据，到时候这就成了一个丑闻。
说完他起身拉过来一块白板。
“我首先说一下，齐次平衡法的作用。”
“齐次平衡法，是解决非线性发展方程的精确解，既在常微分方程的基础上对微分方程的另一种偏微分方程精确解的求法。”
“下面我详细的写出来齐次平衡法的推演步骤！”
他拿起笔在白板上写着。
卓越三人站起身到白板附近，认真的看他写的内容。
【已知NLPDE，p(u，uₓ，uₜ，uₓₓ，uₓₜ，uₙ，...)=0（1.1）
这里p是其变元多项式，其中包含u(x，t)的非线性项和它的最高阶导数项，函数φ=φ(x，t)称为(1.1)的拟解。
……
1.4如果前三步的解答是肯定的，那么将结果代入(1.2)经过一些计算，就得到(1.1)的准确解。】
他放下笔，看着卓越三人，道：“齐次平衡法有两种情形，一种平衡阶数为负数的情形，另一种是阶数为分数的情形。”
“首先我讲解一下平衡阶数为负数的情形。”
“当m，n中存在负数时(不妨设其为负整数情形)，我们可以假设m+n>0时
……
我们可以先对原方程做变换u=v^(-1)将原方程化为关于v的NLPDE。
这时，再利用齐次平衡方法解之。”
“下面，我用实例演算给你们看。”
【ut=(u²)ₓₓ+p(u-u²)(2.2.1)
……
当c ₀=1时，将导致负数解，这里略去。】
“这就是阶数为负数的平衡法，有什么问题，我们之后再议。”
他看到三人欲言又止，就说道：“下面我说一下阶数为分数的情形。”
“若平衡阶数m，n中有分数(不妨设其为正分数情形)，我们可以先做变换v=au^1其中1为m的最简分式的分母与n的最简分式的分母的最小公倍数，a为任意常数。
也可直接假设。
这个公式比较复杂，我直接写下来吧！”
【u(x，t)=f^([m+n])φᵐxφⁿt/φᵐ⁺ⁿ-[m+n]+[m+n]-1∑t=1f([m+n]-t∑(j=1)C[m+n]-tjφ(m-j)xφ(n+j-1)t/φ(m+n-[m+n]-t))+Ca(3.1.1)】
写完后，他指着白板上的公式道：“其中[x]表示取x的整数部分，c0为任意常数。”
“下面我实例演示一下。”
【ut+qu²ux+puₓₓ=0
其中p，q>0
……
得到的精确解为
u(x，t)=±√3pqk²/r(2-pk²)tanh[½k(x+2q/pk²-2t)]】
他呼出一口气，道：“好了，这就是我说的齐次平衡法，你们有什么需要问的吗？”
“请问较低导数的非线性项式怎么转变为较高导数的线性项的，然后又怎么让各阶的系数为零的。”宗老师问道。
“是将(2.2.3)代入(2.2.2)，合并φ的各种偏导数同次齐次项，并令φ⁵xφ¹ᵗ的系数为零，得
……
φ(x，t)所满足的方程组(2.2.9)--(2.2.10)是有解的。”
“那怎么得到k，w的非线性代数方程组？”杨老师问道。
“令φ(x，t)=1+exp(kx+wt)代入(2.2.9)--(2.2.10)，得到关于k，w的非线性代数方程组。”
“原方程的准确孤立波解是什么？”卓越问道。
“我写出来给你看。”
【u(x，t)=-6/tanh(±√-p/3/4+p/4t)]】
接下来，三人提问了许多问题，卓越提的最多。
齐次平衡法，让他对解决NLPDE的破解方法的思路又开阔了许多。
并且接下来三天时间，他都在研究齐次平衡法，不懂的就去问胡教授。
胡教授倒是也不恼，有问必答，再说他的时间很多，每天只有一节课，其余时间都在搞科研。
本来来之前卓越还想在津门逛逛的，但三天时间都用在学习上。
学习的时间总是过的很快，不知不觉三天就过去了。
三天后，他们踏上返回杭城的旅程。
这一趟来津门，卓越对新的NLPDE破解方法已经想到方法了。
但还是缺点东西，可是他相信应该很快了。
飞机上！
卓越拿着纸笔，写出许多的公式，拿笔的又手臂放在扶手上，手指抵着下巴，微微皱眉看着纸沉思。
他们乘坐的是商务舱，附近坐的都是成功人士，对于卓越这位年轻帅气，认真的样子有一股独特的魅力，早就吸引空姐们的目光。
不时的有一位漂亮的空姐来询问他需要什么帮助，很是殷勤，更是偷偷的塞来纸条。
“还是年轻好啊！”一旁的杨老师和宗老师对视一眼。
卓越对于这种情况习以为常，照单全收。
“小丽，你可别看到帅哥就犯花痴。”一位年长点的空姐对这位殷勤的空姐道：“女人的青春是很值钱的，咱们可不能陪穷小子玩。”
“就是，你看他穿的衣服和地摊货一样，一看就不是有钱人，能坐商务舱也肯定不是花自己的钱。”另一位空姐不屑的瞥了一眼卓越的位置。
“哎呀，你们不觉得他很帅吗，特别是认真思索的样子，简直帅呆了。”小丽要冒星星的道，一副小迷妹的样子。
两位空姐看她这样，心中无奈叹息，年长的空姐道：“小丽，听姐的话，像你这么漂亮的姑娘，应该找有钱人，特别是像我们这样的职业，是吃青春饭的，更应该在二十七岁钱找有其人嫁了，不能找穷小子，不然到时候吃亏的是你。”
“知道了。”小丽满不在乎的道，心中对她们的话却是不以为然。
卓越自然不知道空姐们对他的看法，两个多小时后，他们下飞机了，将空姐塞的纸条扔掉。
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